Wywodzi się z rodziny, w której głęboko zakorzenione tradycje muzyczne sięgają kilku pokoleń. Ojciec Henryka – Karol Melcer by z wykształcenia muzykiem. W czasie, kiedy urodził się Henryk, Karol Melcer był nauczycielem muzyki w Męskim Gimnazjum Klasycznym w Kaliszu oraz nauczycielem muzyki w gimnazjum żeńskim i na prywatnych pensjach. Ponadto prywatnie uczył gry na skrzypcach i udzielał lekcji śpiewu.
Naukę gry fortepianowej rozpoczął u babki Józefy Klemczyńskiej-Melcerowej i u ojca, Karola Melcera, skrzypka, dyrektora Kaliskiego Towarzystwa Muzycznego, z którym wystąpił po raz pierwszy publicznie 25 września 1877 w wieku 8 lat.
Uczęszczał do jednej z kaliskich szkół elementarnych, a w 1879 r. rozpoczął naukę w Męskim Gimnazjum Klasycznym w Kaliszu. Był bardzo rozważnym, pracowitym i pilnym dzieckiem, co miało duży wpływ na zaangażowanie i postępy w nauce.
Uchodził powszechnie za tzw. cudowne dziecko, toteż występował również poza Kaliszem – w Koninie, Poznaniu i w Warszawie. Pierwszy koncert w stolicy miał miejsce w 1882 r., co odnotowała ówczesna prasa. Warszawki występ Henryka zrobił ogromne wrażenie na publiczności. Talent chłopca był tak wielki, iż sugerowano pozostawienie go od razu w Warszawie celem doskonalenia umiejętności pianistycznych, na co nie zgodził się ojciec. Postanowił, że syn najpierw ukończy Kaliskie Gimnazjum, a później rozpocznie studia.
Wraz z braćmi i ojcem utworzyli tzw. Kwartet Melcerów, w którym Henryk grał na fortepianie, Stanisław na skrzypcach, Karol (ojciec) na altówce i Franciszek na wiolonczeli. Rodzinny kwartet był bardzo popularny w Kaliszu i okolicach, czego dowodem były liczne koncerty w pobliskich dworach.
Oprócz gry na fortepianie Henryk interesował się kompozycją. Pierwsze próby kompozytorskie pochodzą z 1879 r. Wtedy to napisał na życzenie ojca 2-aktową operetkę dla teatru amatorskiego. Ponadto pisał drobne utwory będące utworami okolicznościowymi – powstawały najczęściej z okazji imienin domowników. Najczęściej była to jedna lub dwie części tria bądź kwartetu z przeznaczeniem do wykonania przez rodzinny kwartet.
Po ukończeniu gimnazjum, tj. w 1887 r. Henryk Melcer opuścił Kalisz. Zapisał się na studia matematyczne na Uniwersytecie Warszawskim, a rok później rozpoczął naukę w Warszawskim Instytucie Muzycznym (późniejszym Konserwatorium). Przez rok studiował oba kierunki, jednak wybitne uzdolnienia muzyczne zadecydowały o wyborze muzyki. Studia w Instytucie przebiegały bardzo pomyślnie – Melcer studiował fortepian „wyższy” u Rudolfa Strobla i kompozycję u Zygmunta Noskowskiego. Już w czasie studiów odnosił sukcesy jako pianista, kompozytor i akompaniator. Trzyletnie studia w Warszawie zostały uwieńczone przyznaniem stypendium zagranicznego – na 140 uczniów on jako jedyny dostąpił tego wyróżnienia. Jesienią 1891 r. wyjechał więc do Wiednia, gdzie doskonalił swą technikę pianistyczną pod kierunkiem sławnego Teodora Leszetyckiego.

Teodor Leszetycki wierząc w przyszłość młodego Melcera postanowił namówić go do udziału w konkursie pianistycznym i kompozytorskim im. Antoniego Rubinsteina w Berlinie. Latem 1895 r. artysta udał się do Berlina, gdzie przedstawił jurorom swój I Koncert fortepianowy e-moll oraz Trio g-moll i dwa spośród trzech Morceaux caracteristiques. Melcer otrzymał pierwszą nagrodę za Koncert i trzecią jako pianista. Na berlińskim konkursie nagrodzono także wspomniane Trio i obie miniatury. Przyznanie Melcerowi pierwszej nagrody w konkursie kompozytorskim i uznanie go tym samym za najlepszego kompozytora młodego pokolenia otworzyło przed laureatem ogromne możliwości artystyczne. Młody, 26-letni artysta stał się w krótkim czasie bardzo popularny – w całej Europie gazety drukowały zdjęcia i życiorys Melcera.

Jeszcze jesienią 1895 roku wyjechał do Finlandii, gdzie otrzymał pierwszą znaczącą posadę profesora fortepianu wyższego w Konserwatorium w Helsinkach. Przebywał tam niespełna dwa lata, podczas których prowadził nie tylko działalność pedagogiczną, ale także koncertową. Występował m.in. we Lwowie, Berlinie, Paryżu, Petersburgu i Sztokholmie. W tym samym czasie, w 1896 r. wiedeńska firma L. Doblingera wydała drukiem nagrodzony Koncert e-moll.
Kolejnym etapem artystycznej wędrówki był Lwów, gdzie z początkiem 1897 r. objął Melcer posadę nauczyciela fortepianu w tamtejszym konserwatorium. Ożywiona działalność pedagogiczna, jaką tam prowadził przysporzyła pianiście – pedagogowi sławy. Dlatego też ilość uczniów chętnych do nauki pod okiem Melcera stale rosła. Artysta nadal brał czynny udział w życiu koncertowym – wykonywał swoje nowo powstałe utwory fortepianowe, a także kompozycje Chopina, Żeleńskiego i Paderewskiego.
Rok 1898 przyniósł Melcerowi kolejne laury – pierwszą nagrodę na Konkursie im. Ignacego Jana Paderewskiego w Lipsku za II Koncert fortepianowy c-moll. W niedługim czasie warszawska firma nakładowa L. Idzikowski wydała go drukiem. Znany polski muzykolog Józef Reiss ocenił to dzieło bardzo wysoko. W jednej ze swoich publikacji stwierdził, że (…)Jest to jedno z najcenniejszych dzieł naszej literatury fortepianowej po Chopinie; staje ono godnie wobec fortepianowych koncertów Władysława Żeleńskiego i I.J.Paderewskiego i reprezentuje ten sam styl.
Melcer nieustannie koncertując stale zmieniał miejsca pobytu. Ze Lwowa przeniósł się na krótko do Wiednia, potem (w 1899 r.) do Łodzi, a jesienią 1902 r. znowu wrócił do Lwowa. Objął tam stanowisko drugiego dyrygenta w nowo powstałej Filharmonii Lwowskiej, a także udzielał lekcji gry na fortepianie. Jesienią 1903 r. rodzina Melcerów (Henryk wraz z żoną Heleną i dwiema córkami) przeniosła się na cztery lata do Wiednia, gdzie wybitny pianista objął znaczącą profesora fortepianu w Konserwatorium der Gesselschaft der Musikfreunde, tzw. Meisterschule, czyli w mistrzowskiej klasie fortepianu.
Jesienią 1907 r. Melcer powrócił do kraju o osiadł na stałe w Warszawie. Rok później otrzymał propozycję objęcia posady dyrektora artystycznego Filharmonii Warszawskiej, którą przyjął i sprawował jeden sezon artystyczny. Celem artysty było podniesienie kultury muzycznej miasta, co zamierzał osiągnąć poprzez organizowanie koncertów na wysokim poziomie i wystawianie arcydzieł muzyki oratoryjnej, udostępniając bilety po możliwie najniższych cenach.
W latach 1909-15 Melcer nie piastował żadnej funkcji, toteż rozwijał działalność wirtuozowską i pedagogiczną. W programach koncertów znajdowały się utwory własne, a także kompozycje F. Chopina, F. Liszta, C. Saint-Saënsa i C. Debussy’ego. Wiosną 1914 r. Melcer wyjechał do Kissingen, gdzie przebywał na leczeniu w związku z początkami choroby – angina pectoris (dusznica bolesna). Po jego powrocie z uzdrowiska wybuchła I wojna światowa. Z powodu rozwijającej się choroby artysta nie mógł wstąpić do wojska, aby uczestniczyć w obronie ojczyzny.
W listopadzie 1916 r. powołano do życia Polski Klub Artystyczny, którego prezesem mianowano H. Melcera (funkcję tę pełnił do końca życia). Klub był swego rodzaju interdyscyplinarnym forum jednoczącym niemal wszystkie dziedziny sztuki, a jego członkami byli artyści i miłośnicy sztuk. Ideą stowarzyszenia było stworzenie środowiska artystycznego o charakterze narodowym, które jak mówił Melcer stać się może ogniskiem rzetelnej kultury estetycznej.
Z początkiem roku szkolnego 1917/18 Melcer rozpoczął pracę w Konserwatorium Warszawskim. Został profesorem wyższego kursu fortepianu, a z czasem zaczął też uczyć kompozycji i dyrygentury. W styczniu 1922 r. mianowano go dyrektorem Konserwatorium Warszawskiego. Melcer cieszył się nienaganną opinią, w jego osobie postrzegano znakomitego muzyka, światowego pedagoga i organizatora życia muzycznego. Melcer jako dyrektor Konserwatorium pilnie dbał o to, aby wśród grona pedagogów znajdowali się najlepsi specjaliści z poszczególnych przedmiotów nauczania.
Henryk Melcer zmarł 18 kwietnia 1928 r. podczas lekcji w Konserwatorium. Został pochowany na Cmentarzu Powązkowskim w Warszawie.
Pozostawił po sobie niemały dorobek kompozytorski. Napisał m.in.: 2 Koncerty fortepianowe: e-moll i c-moll ( oba nagrodzone na międzynarodowych konkursach), Trio g-moll, Sonatę G-dur na fortepian i skrzypce, fragmenty muzyki do dramatu S.Wyspiańskiego Protesilas i Laodamia, operę Maria (II nagroda na konkursie im. Wołłodkowicza w Warszawie w 1904 r.- opera uznana za zaginioną), balladę na tenor, chór mieszany i orkiestrę symfoniczną do słów A. Mickiewicza Pani Twardowska, utwór symfoniczny Cztery obrazy w formie symfonii (utwór uznany za zaginiony), szereg pieśni na głos z towarzyszeniem orkiestry i fortepianu, kilkanaście miniatur fortepianowych, parafraz do pieśni St. Moniuszki i wiele innych utworów. Najwcześniejsze, dość rozbudowane Trio g-moll z lat 1892-94 jest jednym z tych utworów, za które Melcer otrzymał nagrodę Grand Prix na wspomnianym konkursie im. Rubinsteina w Berlinie. Napisane w stylu neoromantycznym, uznawane jest za najwybitniejszy utwór polski tego gatunku od czasu Tria Chopina.